Question

已知函数f（x）=|x+a|+|x-1|，（a＞0），且f（0）=2，
（1）求a的值及f[f（2）]；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若g（x）=f（x）+x²，求g（x）的最小值，并求取最小值时x的取值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）代入计算即可；
（2）利用偶函数的定义即可；
（3）利用零点分段法，把g（x）进行分段，并观察各段上的最小值，问题得以解决．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x+a|+|x-1|，（a＞0），且f（0）=2，
∴|0+a|+|0-1|=2，解得a=1，
∵f（2）=|2+1|+|2-1|=4，f（4）=|4+1|+|4-1|=8，
∴f[f（2）]=8；
（2）f（x）为偶函数，
证明∵f（x）=|x+1|+|x-1|，
∴f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f（x），
∴f（x）为偶函数．
（3）∵g（x）=f（x）+x²，
∴g（x）=|x+1|+|x-1|+x²
∴g（x）=

x2-2x， x≤-1 x2+2，-1＜x＜1 x2+2x，x≥1

，
∴g(x)=

(x-1)2-1，x≤-1 x2+2，-1＜x＜1 (x+1)2-1，x≥1

∴当x=0时，g（x）有最小值，最小值为2．

点评：本题考查了含有绝对值的函数值的求法，函数奇偶性证明，分段函数的最值问题，属于中档题．