Question

11．已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的展开式中x的系数恰好是数列{a_n}的前n项和S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足${b_n}=\frac{{{2^{a_n}}}}{{（{{2^{a_n}}-1}）（{{2^{{a_{n+1}}}}-1}）}}$，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根据二项式定理可得${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，继而求出数列的通项公式；
（2）根据“裂项求和“即可证明．

解答 （1）解：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的展开式中x的系数为$C_1^1+C_2^1+C_3^1+…+C_n^1=C_2^2+C_2^1+C_3^1+…+C_n^1$=$C_{n+1}^2=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，
即${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n．
当n=1时，a₁=1也适合上式．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n．
（2）证明：${b_n}=\frac{2^n}{{（{{2^n}-1}）（{{2^{n+1}}-1}）}}=\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以${T_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}=1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以T_n＜1．

点评 本题考查了二项式定理，前n项和公式、“裂项求和”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．