Question

3．设P为y=x²+1上的一动点，A（0，-3），$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AP}$，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出Q，P的坐标，利用$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AP}$把P的坐标用Q的坐标表示，然后把P的坐标代入y=x²+1得答案．

解答 解：设Q（x，y），P（x₀，y₀），
又A（0，-3），
∴$\overrightarrow{AQ}=（x，y+3），\overrightarrow{AP}=（{x}_{0}，{y}_{0}+3）$，
由$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AP}$，得（x，y+3）=$\frac{1}{3}$（x₀，y₀+3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{x}_{0}}\\{y+3=\frac{1}{3}（{y}_{0}+3）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3x}\\{{y}_{0}=3y+6}\end{array}\right.$．
∵P在y=x²+1上，∴${y}_{0}={{x}_{0}}^{2}+1$，
即3y+6=9x²+1，∴$y=3{x}^{2}-\frac{5}{3}$．
即点Q的轨迹方程为$y=3{x}^{2}-\frac{5}{3}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题．