Question

11．若函数f（x）=$\frac{2co{s}^{2}x-si{n}^{2}（π+x）-2cos（-x-π）+1}{2+2co{s}^{2}（7π+x）+cos（-x）}$．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求f（$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式及倍角公式化简可得f（x）=$\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos2x+2cosx}{3+cos2x+cosx}$，根据f（-x）=f（x），即可证明f（x）是偶函数．
（2）利用特殊角的三角函数值即可求值．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{2co{s}^{2}x-si{n}^{2}（π+x）-2cos（-x-π）+1}{2+2co{s}^{2}（7π+x）+cos（-x）}$=$\frac{（1+cos2x）-\frac{1-cos2x}{2}+2cosx+1}{2+（1+cos2x）+cosx}$=$\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos2x+2cosx}{3+cos2x+cosx}$，
∴f（-x）=$\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos（-2x）+2cos（-x）}{3+cos（-2x）+cos（-x）}$=$\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos2x+2cosx}{3+cos2x+cosx}$=f（x），即f（x）是偶函数，得证．
（2）解：f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos\frac{2π}{3}+2cos\frac{π}{3}}{3+cos\frac{2π}{3}+cos\frac{π}{3}}$=$\frac{7}{12}$．

点评 本题主要考查了诱导公式及倍角公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．