Question

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+t y=-4+t

，直线l与曲线C分别交于M，N．
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

考点：直线的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用极坐标化为直角坐标方程的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的方程；消去参数t即可得到直线l的方程；
（2）把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系，利用两点间的距离公式和等比数列的定义即可得出．

解答： 解：（1）由曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），可得ρ²sin²θ=2aρcosθ，化为y²=2ax．
由直线l的参数方程为

x=-2+t y=-4+t

，消去参数t可得直线l：y=x-2．
（2）联立

y=x-2 y2=2ax

，
化为x²-（4+2a）x+4=0，
∵直线l与抛物线相交于两点，
∴△=（4+2a）²-16＞0，解得a＞0或a＜-4．（*）
∴x₁+x₂=4+2a，x₁x₂=4．
∴|MN|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4+2a)2-16]

=

8a2+32a

．
|PM|=

(x1+2)2+(y1+4)2

=

2

|x1+2|，|PN|=

2

|x2+2|．
∴|PM||PN|=2|（x₁+2）（x₂+2）|=2|x₁x₂+2（x₁+x₂）+4|
=2|16+4a|
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|MN|²=|PM||PN|，
∴(

8a2+32a

)2=2|16+4a|，
化为a（4+a）=|4+a|，
∵a＞0或a＜-4．
解得a=1．
∴a=1．

点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于难题．