Question

如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2

3

．
（1）求证：OF⊥平面ABCD；
（2）求二面角F-BC-D的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出AC⊥BD，OF⊥BD，由此能够证明OF⊥平面ABCD．
（2）过O作OH⊥BC于H，连结HF，由三垂线定理知∠FHO为二面角F-BC-D的平面角，由此能求出二面角F-BC-D的正切值．

解答： （1）证明：∵面ABCD⊥面BDEF且交于BD，四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，又∵∠DAB=60°，AC=2

3

，
∴OB=1，BD=2=BF，又∵∠DBF=60°，
∴OF=

3

，∠FOB=90°，∴OF⊥BD，
∴OF⊥平面ABCD．
（2）解：∵OF⊥平面ABCD，过O作OH⊥BC于H，连结HF，
∴由三垂线定理知∠FHO为二面角F-BC-D的平面角，
又∵OF=

3

，OH=

3

2

，∴tan∠OHF=2，
∴二面角F-BC-D的正切值为2．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题．