Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2，△PCB为正三角形，且平面PCB⊥平面ABCD，M，N分别为BC，PD的中点．
（1）求证：MN∥面APB；
（2）求二面角B-NC-P的余弦值；
（3）求四棱锥P-ABCD被截面MNC分成的上下两部分体积之比．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,组合几何体的面积、体积问题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AD中点O，连接MO，NO，由已知条件推导出四边形ABCD为平行四边形，由此能够证明MN∥面PAB．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-NC-P的余弦值．
（3）利用向量法求出点P到平面MNC的距离，由棱锥体积的计算公式能求出四棱锥P-ABCD被截面MNC分成的上下两部分体积之比．

解答： （1）证明：取AD中点O，连接MO，NO，
∵M，N分别为DE，PB的中点，
∴ON∥PA，ON∥面PAB
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OM∥AB，∵OM在平面PAB外，AB?平面PAB，
∴OM∥面PAB，
∵面MON∥面PAB，∴MN∥面PAB．（3分）
（2）建立空间直角坐标系如图，
由题意知：P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），B（0，-1，0），
C（0，1，0），D(

3

，2，0)，
∵N为PD中点，∴N(

3

2

，1，

3

2

)，（4分）
∴

PN

=（

3

2

，1，-

3

2

），

PC

=(0，1，-

3

)，

BN

=(

3

2

，2，

3

2

)，

BC

=（0，2，0），
令平面PNC的法向量

n

=(x， y， z)，
∵

n

•

PN

=0，

n

•

PC

=0，
∴

3 2 x+y- 3 2 z=0 y- 3 z=0

，∴

n

=(-1， 

3

， 1)．
设平面BNC的法向量

m

=(

x

1

，y1，z1)，
∵

m

•

BN

=0，

m

•

BC

=0，
∴

3 2 x1+2y1+ 3 2 z1=0 2y1=0

，∴

m

=(1，0，-1)，（6分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1+0-1

5 • 2

=-

10

5

，
∵二面角B-NC-P的平面角为锐角，
∴二面角B-NC-P的余弦值为

10

5

．（8分）
（3）∵

MP

=（0，0，

3

），平面MNC的法向量为

m

=(1，0，-1)，
∴点P到平面MNC的距离d=|

MP • m

m

|=|

- 3

2

|=

6

2

，
设PA中点为E，则NE=1，BC=2，

BC

=(0，2，0)，

CN

=(

3

2

，0，

3

2

)，
∴

BC

•

CN

=0，|

CN

|=

6

2

，
∴直角梯形ENCB的面积为

1

2

(1+2)×

6

2

=

3 6

4

，
∴V上=

1

3

×

3 6

4

×

6

2

=

3

4

V下=

1

3

×2

3

×

3

-

3

4

=

5

4

，
∴

V上

V下

=

3

5

，
∴四棱锥P-ABCD被截面MNC分成的上下两部分体积之比为

3

5

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查棱锥体积的计算，解题时要注意空间思维能力的培养．