Question

3．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的两焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），椭圆的上顶点M满足$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_2}M}$=0．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）若以点N（0，2）为圆心，且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为$\sqrt{26}$．
（ⅰ）求此时椭圆C的方程；
（ⅱ）椭圆C上是否存在两点A，B关于直线l：y=kx-1（k≠0）对称，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_2}M}$=0，得到b=c，由此能求出椭圆C的离心率．
（Ⅱ）①由设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．设P（x，y）是椭圆上任一点，|PN|的最大值为$\sqrt{26}$，则|PN|²=x²+（y-2）²=-（y+2）²+2b²+8（-b≤y≤b）．由此能求出椭圆方程．
②设直线AB的方程为x=-ky+m，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=18\\ x=-ky+m\end{array}\right.$，得：（k²+2）y²-2kmy+m²-18=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标、椭圆性质，能求出k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_2}M}$=（c，b）•（-c，b）=-c²+b²=0，
∴b=c，从而a=$\sqrt{2}$c，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．                    …（3分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．
设P（x，y）是椭圆上任一点，依题意，|PN|的最大值为$\sqrt{26}$，
则|PN|²=x²+（y-2）²=（2b²-2y²）+（y-2）²=-（y+2）²+2b²+8（-b≤y≤b）．
（ⅰ）若b≥2，则y=-2时，|PN|_max=$\sqrt{2{b^2}+8}$=$\sqrt{26}$，
∴b=3，此时椭圆方程为$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．           …（7分）
（ⅱ）若0＜b＜2，则y=-b时，|PN|_max=b+2=$\sqrt{26}$，
∴b=$\sqrt{26}$-2＞2，矛盾．
综上得椭圆方程为$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．                  …（9分）
②设直线AB的方程为x=-ky+m，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=18\\ x=-ky+m\end{array}\right.$
化简得：（k²+2）y²-2kmy+m²-18=0，
由△=4k²m²-4（k²+2）（m²-18）＞0，解得：9k²-m²+18＞0．
由韦达定理得：y_A+y_B=$\frac{2km}{{{k^2}+2}}$，
可求得AB的中点坐标为（$\frac{2m}{{{k^2}+2}}$，$\frac{km}{{{k^2}+2}}$），
代入直线y=kx-1得$\frac{km}{{{k^2}+2}}$=$\frac{2km}{{{k^2}+2}}$-1，求得m=$\frac{{{k^2}+2}}{k}$，
代入9k²-m²+18＞0得9k²-${（{\frac{{{k^2}+2}}{k}}）^2}$+18＞0，
解得k∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．…（14分）

点评 本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线的斜率是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．