Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为$\sqrt{2}$+1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF与△OBC的面积相等，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=1，a+c=1+$\sqrt{2}$，解得a，由b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x-1），C（0，-k），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，运用中点坐标公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）哟题意可得c=1，a+c=1+$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x-1），C（0，-k），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）=8+8k²＞0成立，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由△OAF与△OBC的面积相等，可得|AF|=|BC|，
即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，
AB的中点的横坐标为$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
CF的中点的横坐标为$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则所求直线的方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），即为x±$\sqrt{2}$y-1=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用两点的距离公式和基本量的关系，考查直线的方程的求法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．