Question

18．已知$|\overrightarrow a|$=1，$|\overrightarrow b|$=2，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°．求：
（1）$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$，$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$
（2）$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角θ的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积的定义与性质，求模长即可；
（2）根据平面向量数量积求向量的夹角即可．

解答 解：（1）∵$|\overrightarrow a|$=1，$|\overrightarrow b|$=2，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1²+2×1×2cos60°+2²=7，
${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1²-2×1×2cos60°+2²=3，
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=$\sqrt{7}$，
$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$=$\sqrt{3}$；
（2）∵$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{a}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=2×1×cos60°-2²=-3，
∴$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$夹角θ的余弦值为
cosθ=$\frac{\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．