Question

9．如图，几何体ABCDEF中，四边形ABEF为矩形，ABCD为梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=4，AF=AD=CD=2，AD⊥BD，O为AB的中点．
（1）证明：AD⊥平面BDE；
（2）在线段DE上是否存在点N，使得ON∥平面ADF？说明理由；
（3）求点C到平面BDF的距离．

Answer 1

分析 （1）证明BE⊥平面ABCD，可得BE⊥AD，利用AD⊥BD，即可证明AD⊥平面BDE；
（2）取DE中点记作N，设DF的中点为N，连接AM，MN，证明MNOA为平行四边形，即可说明ON∥平面ADF；
（3）利用等体积，即可求点C到平面BDF的距离．

解答 （1）证明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥AD，
∵AD⊥BD，BD∩BE=B，
∴AD⊥平面BDE；
（2）解：取DE中点记作N，设DF的中点为N，连接AM，MN
则MN平行且等于$\frac{1}{2}$CD，
又AO平行且等于$\frac{1}{2}$CD，则MN平行且等于AO，
∴MNOA为平行四边形，
∴ON∥AM，
又AM?平面DAF，ON?平面DAF，
∴ON∥平面DAF；
（3）解：△BFD中，BD=2$\sqrt{3}$，DF=2$\sqrt{2}$，BF=2$\sqrt{5}$，
∴BD²+DF²=BF²，
∴BD⊥FD，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{6}$，
设点C到平面BDF的距离为h．
∵S_△BDC=$\frac{1}{2}×2×2×sin120°$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{6}$h，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即点C到平面BDF的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，常考题型．