Question

1．如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，若E是侧棱PD的中点
（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD
（Ⅱ）求直线CE与底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得PA⊥AB，PA⊥AD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（2）过点E作EO⊥平面ABCD，交AD于点O，连结CO，则∠ECO是直线CE与底面ABCD所成角，由此能求出直线CE与底面ABCD所成角的大小．

解答 证明：（1）∵在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，
∴AB²+PA²=PB²，AD²+PA²=PD²，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
解：（2）∵E是侧棱PD的中点
∴过点E作EO⊥平面ABCD，交AD于点O，连结CO，
则∠ECO是直线CE与底面ABCD所成角，CO=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，
∵四棱锥P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，
∴DO=$\frac{1}{2}$，CO=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-2×1×\frac{1}{2}×cos60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan$∠ECO=\frac{EO}{CO}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ECO=30°，
∴直线CE与底面ABCD所成角的大小为30°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．