Question

12．如图，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧$\widehat{BD}$中点，连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE．
（1）求证：CE∥DG；
（2）求证：$\frac{AG}{DG}$=$\frac{CE}{EF}$．

Answer 1

分析 （1）连接AB，由圆周角定理，及G为弧$\widehat{BD}$中点，求出∠BDG=∠BCE，从而证出直线平行；
（2）可得∠GAD=∠FCE，∠CEF=∠ABC=90°，进而得到△CEF∽△AGD，根据相似三角形对应边成比例．

解答 证明：（1）已知AD为⊙M的直径，连接AB，
如图示：

∵点G为弧$\widehat{BD}$中点，
∴∠BAG=∠BDG，而∠BCE=∠BAG，
∴∠BDG=∠BCE，
∴CE∥DG；
（2）由（1）得：
∠BCE=∠BAE，∠CEF=∠ABC=90°，
由点G为弧BD的中点可知∠GAD=∠BAE=∠FCE，
故△CEF∽△AGD，
所以有：$\frac{AG}{DG}$=$\frac{CE}{EF}$．

点评 本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识．