Question

1．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，且满足f（-x）=f（x），则（　　）

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增
• B． f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）上单调递减
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减
• D． f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）上单调递增

Answer 1

分析 根据三角函数的对称性求出函数的周期，利用周期求ω的值，利用函数的奇偶性可求φ，从而可得函数解析式，进而利用余弦函数的单调性即可得解．

解答 解：∵函数f（x）=3sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴函数的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，即 $\frac{2π}{ω}$=π，即ω=2，
则f（x）=3sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$）．
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，φ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{2}$）=3cos2x．
∴由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，可得：kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴f（x）=3cos2x的单调递减区间为：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减．
故选：C．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了三角函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．