Question

【题目】如图，在六面体中，平面平面，平面，，，.且，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

(1) 取中点，连接、,通过证明为平行四边形,可证，且,通过证明为平行四边形,可证,根据直线与平面平行的判定定理可证面;

(2) 以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系后,利用平面的法向量可求得结果.

（1）取中点，连接、,

如图所示:

∵，为中点，,

∴,

又∵,

∴为平行四边形,

∴，且,

∵面面，且面面，面面,

∴,

又∵，且,

∴，且,

∴为平行四边形,

∴,

又∵面，面,

∴面.

（2）以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，.

设平面的法向量为，

∵，，

∴，

∴,

∴,

同理，面的法向量，

∴.

二面角的余弦为.