题目内容
【题目】某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟).将统计数据按分组,制成频率分布直方图:
假设乘客乘车等待时间相互独立.
(1)在上班高峰时段,从甲站的乘客中随机抽取1人,记为;从乙站的乘客中随机抽取1人,记为
.用频率估计概率,求“乘客
,
乘车等待时间都小于20分钟”的概率;
(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人,表示乘车等待时间小于20分钟的人数,用频率估计概率,求随机变量
的分布列与数学期望.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(I)根据频率分布直方图分别计算出两个乘客等待时间小于分钟的频率,按照相互独立事件概率计算公式,计算出“乘客
,
乘车等待时间都小于20分钟”的概率.(II)根据二项分布概率计算公式以及数学期望计算公式,求得
的分布列和数学期望.
解:(Ⅰ)设表示事件“乘客
乘车等待时间小于20分钟”,
表示事件“乘客
乘车等待时间小于20分钟”,
表示事件“乘客
乘车等待时间都小于20分钟”.
由题意知,乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为
,故
的估计值为
.
乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为
,故
的估计值为
.
又.
故事件的概率为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为,
所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.
显然,的可能取值为
且
.
所以;
;
;
.
故随机变量的分布列为
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