Question

设f（x）=x^a+

16

x

，a∈Z．
（1）若f（x）的图象关于原点对称，求a的所有可能值组成的集合A；
（2）当a=2，判断并用定义证明函数f（x）在（2，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若f（x）的图象关于原点对称，则f（-x）=-f（x），可解得：x^a=-（-x）^a，可解得a为奇数．
（2）当a=2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．设2＜x₁＜x₂，则证明f（x₂）-f（x₁）＞0即可．

解答： 解：（1）若f（x）的图象关于原点对称，则f（-x）=-f（x）
即有：-（x^a+

16

x

）=（-x）^a-

16

x

，可解得：x^a=-（-x）^a
所以a为奇数，故a的所有可能值组成的集合A={x|x=2n-1，n属于正整数}．
（2）当a=2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
证明：∵a=2，
∴f（x）=x²+

16

x

，
∴设2＜x₁＜x₂，则有x₂-x₁＞0，x₁x₂＞4，x₂+x₁＞4，x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴f（x₂）-f（x₁）=x22+

16

x2

-x12-

16

x1

=

(x2-x1)[x1x2(x2+x1)-16]

x1x2

＞0
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．

点评：本题主要考察了函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，属于中档题．