Question

10．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD和底面BCD垂直，点F是棱CD上的动点，E，O分别是AD，BD的中点，已知AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2CD，∠BAD=∠BDC=90°．
（1）证明：不论点F在棱CD上如何移动，总有OE⊥AF；
（2）求四面体F-DEO的体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥平面ACD，可得AB⊥AF，利用EO∥AB，即可证明不论点F在棱CD上如何移动，总有OE⊥AF；
（2）F在C处时，四面体F-DEO的体积最大，求出CD，即可求四面体F-DEO的体积的最大值．

解答 （1）证明：∵平面ABD和底面BCD垂直，平面ABD∩底面BCD=BD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面ABD，
∵AB?平面ABD，
∴CD⊥AB，
∵∠BAD=90°，
∴AB⊥AD，∵AD∩CD=D，
∴AB⊥平面ACD，
∵AF?平面ACD，
∴AB⊥AF，
∵E，O分别是AD，BD的中点，
∴EO∥AB，
∴⊥AF；
（2）解：F在C处时，四面体F-DEO的体积最大．
∵AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2CD，∠BAD=∠BDC=90°．
∴CD=1，
∴四面体F-DEO的体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．