Question

已知曲线C的参数方程为

x=4t2 y=4t

（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=

π

4

的直线l 与曲线C分别交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求B、C两点间的距离．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为

x=4t2 y=4t

（y为参数），消去参数t即可得出普通方程．．
（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数），代入抛物线方程得 可得t2-2

2

t-14=0，利用根与系数的关系与弦长公式|BC|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为

x=4t2 y=4t

（y为参数），消去参数t得，y²=4x．
（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数），
代入抛物线方程得 可得t2-2

2

t-14=0，
∴t1+t2=2

2

，t₁t₂=14．
∴|BC|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

8+56

=8．

点评：本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．