Question

已知函数（、为常数），在时取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试比较与的大小并证明.

Answer 1

（1）；（2）取最小值；（3）．

试题分析：（1）因为函数 （、为常数），在时取得极值，故，因此，先对函数求导得，，由可得实数的值；（2）当时，求函数的最小值，当时，由得，代入得 ，对求导，判断单调性，即可得函数的最小值；（3）比较与的大小，直接比较不好比较，可比较对数的大小即与，两式作差得，只需判断它的符号，即判断的符号，即判断的符号，可构造函数，证明即可．
试题解析：（1） 
∴        （3分）
（2）时 
 ， 
∴在上单调递减，在上单调递增       （6分）

∴当时，取最小值           （8分）
（3）令 
   ，∴在上单调递减，在上单调递增  ，∴ 当且仅当时取最小值
∵ ∴ 
∴ ∴
∴  ∴       （14分）