Question

已知函数f（x）=

3 sin2x+cos2x+1

2cosx

（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）若曲线f（x）在点P（x₀，f（x₀））（-

π

2

＜x₀＜

π

2

）处的切线平行直线y=

3

x，求在点P处的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）化简函数，再求f（x）的定义域和值域；
（2）求导数，确定切点的坐标，即可求在点P处的切线方程．

解答： 解：（1）f(x)=

2 3 sinxcosx+2cos2x-1+1

2cosx

=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)

由2cosx≠0，得x≠kπ+ π 2 (k∈Z)， ∴f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+ π 2 ，k∈Z} x+ π 6 ≠kπ+ 2π 3 (k∈Z)时，-2≤y≤2

，
∴f（x）的值域为[-2，2]．…（6分）
（2）f/(x)=

3

cosx-sinx由题意得

f/(x0)= 3 cosx0-sinx0 =2cos(x0+ π 6 ) = 3

∴cos(x0+

π

6

)=

3

2

又∵-

π

3

＜x0+

π

6

＜

2π

3

，∴x0+

π

6

=

π

6

或-

π

6

，∴x0=0或-

π

3

切点为P(0，1)或P(-

π

3

，-1)，
切线方程为：y=

3

x+1和y=

3

x+

3 π

3

-1．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．