Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长相等，M是CC₁的中点，则直线AB₁和BM所成的角的大小是（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长等于2，延长MC₁到N使MN=BB₁，连接AN．可得∠AB₁N（或其补角）就是异面直线AB₁和BM所成角，然后在△AB₁N中分别算出三条边的长，利用余弦定理得cos∠AB₁N=0，可得∠AB₁N=90°，从而得到异面直线AB₁和BM所成角．

解答： 解：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长等于2，延长MC₁到N使MN=BB₁，连接AN，
∵MN∥BB₁，MN=BB₁，
∴四边形BB₁NM是平行四边形，可得B₁N∥BM
因此，∠AB₁N（或其补角）就是异面直线AB₁和BM所成角
∵Rt△B₁C₁N中，B₁C₁=2，C₁N=1，
∴B₁N=

5

，
∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=

13

，
又∵正方形AA₁B₁B中，AB₁=2

2

，
∴△AB₁N中，cos∠AB₁N=

AB12+B1N2-AN2

2AB1×B1N

=

8+5-13

4 2 × 5

=0，可得∠AB₁N=90°
即异面直线AB₁和BM所成角为90°．
故选D．

点评：本题考查了在所有棱长均相等的正三棱柱中，求异面直线所成的角大小，着重考查了正三棱柱的性质、余弦定理和异面直线所成角求法等知识，属于基础题．