Question

过y=x²上一点（a，a²）作切线，问a为何值时所作切线与抛物线y=-x²+4x-1所围区域的面积最小（　　）

• A、2
• B、1
• C、1.5
• D、2.5

Answer 1

考点：二次函数的性质,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：利用导数求出过y=x²上一点（a，a²）的切线方程，切线方程与抛物线y=-x²+4x-1联立，求出交点P₁、P₂，
利用积分求出切线与抛物线围成的面积S，求出S取最小值时a的值即可．

解答： 解：∵y=x²，
∴过y=x²上一点（a，a²）作切线，切线的斜率为k=y′=2a，
∴切线的方程为y=2ax-a²；
设切线与抛物线y=-x²+4x-1的交点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且x₂＞x₁；
则

y=2ax-a2 y=-x2+4x-1

，
消去y，得x²-（4-2a）x-a²+1=0，
∴x₁+x₂=4-2a，
x₁x₂=-a²+1；
∴x12+x22=6a²-16a+14，
x₂-x₁=

8a2-16a+12

∴切线与抛物线围成的面积为
S=

∫

x2 x1

[（-x²+4x-1）-（2ax-a²）dx
=-

1

3

（x23-x13）+（2-a）（x22-x12）+（a²-1）（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）[-

1

3

（x22+x₁x₂+x12）+（2-1）（x₁+x₂）+（a²-1）]
=

8a2-16a+12

•[-

1

3

（6a²-16a+14-a²+1）+（2-a）（4-2a）+（a²-1）]
=

8(a-1)2+4

•[

4

3

（a-1）²+

2

3

]，
∴当a=1时，S取得最小值．

点评：本题考查了函数导数的几何意义问题，也考查了利用积分求曲边图形的面积问题，考查了求函数最值的应用问题，是综合性题目．