Question

已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且.
（1）若,比较与的大小关系；
（2）若.（ⅰ）判断是否为数列中的某一项，并请说明理由；
（ⅱ）若是数列中的某一项，写出正整数的集合（不必说明理由）.

Answer 1

（1），（2）是中的一项，正整数的集合是．

试题分析：（1）记的，公差为，公比为，由，得，比较与的大小关系，由已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且，且，得，，当时，显然，当时，由平均值不等式，从而可比较与的大小关系；（2）若，可得，，（ⅰ）令，由等差数列，等比数列的通项公式，建立方程，解出，若是正整数，为数列中的某一项，若不是正整数，不是数列中的一项，（ⅱ）若是数列中的某一项，写出正整数的集合，可由（ⅰ）的方法写出．
试题解析：记的，公差为，公比为，由，得
（1），，，，
当时，显然；
当时，由平均值不等式，当且仅当时取等号，而，所以即.综上所述，．                5分
（2）（ⅰ）因为，所以得所以或.因为，所以，.
令，即，，，所以是中的一项.
（ⅱ）假设，则，，
当或，（）时，.
正整数的集合是.            13分