Question

已知f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）-f（x+2）f（x）=f（x）+1，f（1）=-

1

2

，f（2）=-

1

4

，则f（2014）=（　　）

• A、0
• B、

  1

  3

• C、2
• D、4

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：通过算出几组来找出规律．将f（1）代入题目中的式子，可以得到f（3）的值，依次算下去，找到其规律，最后求出值．

解答： 解：∵f （x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）-f（x+2）f（x）=f（x）+1，f（1）=-

1

2

，f（2）=-

1

4

，
令x=1，
则f（1+2）-f（1+2）f（1）=f（1）+1，
∴f（3）=

1

3

，
令x=2，
则f（2+2）-f（2+2）f（2）=f（2）+1，
∴f（4）=

3

5

，
同理可求f（5）=2，f（6）=4，f（7）=-3，f（8）=-

5

3

，f（9）=-

1

2

，f（10）=-

1

4

，…
所以，这个函数是以8为周期的．
∵2014除以8余6，
∴f（2014）=f（6）=4．
故选：D．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，赋值法式常用的方法，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．