Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：
①函数f（x）=log₂x为（0，+∞）的“1高调函数”；
②函数f（x）=cosx为R上的“2π高调函数”；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是
[2，+∞）．
其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据高调函数的定义证明条件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．

解答： 解：①∵f（x）=log₂^x为增函数，∴当m＞0时，log₂（x+m）≥log₂^x，∴函数f（x）=log₂^x为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数，1＞0，∴①正确；
②∵cos（x+2π）=cosx，∴函数f（x）=cosx为R上的2π高调函数，∴②正确，
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，则

m＞0 -2m+m2≥0

，
解得m≥2，即实数m的取值范围[2，+∞），∴③正确．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查与函数有关的新定义的应用，弄清新定义的本质，找到判断的标准是解本题的关键．