Question

5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）部分图象如图所示：
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]使得f（x）+4cos²x+m=0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得-m的范围，可得m的范围．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）部分图象，可得A=2，
$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由题意可得，f（x）+4cos²x+m=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
即-m=f（x）+4cos²x=2sin2xcos$\frac{π}{6}$+2cos2xsin$\frac{π}{6}$+4cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2cos2x+2
=$\sqrt{3}$sin2x+3cos2x+2=2$\sqrt{3}$（sin2x•$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+2=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2 在[0，$\frac{π}{2}$]上有解．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2∈[-1，2$\sqrt{3}$+2]，
∴-m=f（x）+4cos²x∈[-1，2$\sqrt{3}$+2]，故 m∈[-2$\sqrt{3}$-2，1]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．