Question

已知cos（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=-

4

5

且（α+β）∈（

3π

2

，2π），（α-β）∈（

π

2

，π），则sin2α=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式即可得出．

解答： 解：∵（α+β）∈（

3π

2

，2π），cos（α+β）=

4

5

，∴sin（α+β）=-

1-cos2(α+β)

=-

3

5

．
∵（α-β）∈（

π

2

，π），cos（α-β）=-

4

5

，∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3

5

．
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-

3

5

×(-

4

5

)+

4

5

×

3

5

=

24

25

．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式，应用两角和与差的三角函数公式时，变角是常用技巧．如2α=α+β+α-β等，考查了计算能力，属于基础题．