Question

7．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_5}（{1-x}）（{x＜1}）\\-{（{x-2}）^2}+2（{x≥1}）\end{array}\right.$，则关于x的方程$f（{x+\frac{1}{x}-2}）=a$，当1＜a＜2时实根个数为（　　）

• A． 5个
• B． 6个
• C． 7个
• D． 8个

Answer 1

分析 令x+$\frac{1}{x}$-2=t，则f（t）=a，结合f（x）的函数图象可知关于t的方程f（t）=a的解的个数和解的范围，利用t的范围得出关于x的方程x+$\frac{1}{x}$-2=t的解的个数即可得出答案．

解答 解：令x+$\frac{1}{x}$-2=t，则f（t）=a，
做出y=f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知：当1＜a＜2时，关于t的方程f（t）=a有3解．
不妨设3个解分别为t₁，t₂，t₃，且t₁＜t₂＜t₃，
则-24＜t₁＜-4，1＜t₂＜2，2＜t₃＜3，
当x+$\frac{1}{x}$-2=t₁，即x²-（2+t₁）x+1=0，
∵-24＜t₁＜-4，
∴△=（2+t₁）²-4＞0，
∴方程x+$\frac{1}{x}$-2=t₁有2解，
同理：方程x+$\frac{1}{x}$-2=t₂有2解，x+$\frac{1}{x}$-2=t₃有2解，
∴当1＜a＜2时，关于x的方程$f（{x+\frac{1}{x}-2}）=a$有6解．
故选B．

点评 本题考查了函数的零点的个数判断与函数图象的关系，属于中档题．