Question

5．已知数列{a_n}为等差数列，其中a₂+a₃=8，a₅=3a₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，设{b_n}的前n项和为S_n．求最小的正整数n，使得${S_n}＞\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；
（2）求得${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，再解不等式，即可得到所求n的最小值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
依a₂+a₃=8，a₅=3a₂，
有$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}+3d=8\\{a_1}+4d=3{a_1}+3d\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
从而{a_n}的通项公式为${a_n}=2n-1，n∈{N^*}$；                                
（2）因为${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
所以 ${S_n}=（{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}$．                                                              
令 $1-\frac{1}{2n+1}＞\frac{2016}{2017}$，
解得n＞1008，
故n的最小值为1009．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，注意运用方程思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．