Question

【题目】已知点P(1,3)，Q(1,2).设过点P的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为C，D.记直线AB，CD的斜率分别为k1，k2.

（1）当时，求弦AB的长；

（2）当时，是否为定值？若是，求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）当时，容易知点的坐标，由两点之间的距离公式即可得弦长；

（2）设出直线的方程，根据韦达定理，求得坐标与斜率之间的关系；设出的坐标，根据三点共线，找到坐标之间的关系，类似地得到坐标之间的关系，即可表示出，再代值即可求证.

（1）当时，直线与抛物线的交点坐标为与

故弦的长为；

（2）由题设得直线，

联立方程组，消去得

于是，

又设，

则

由三点共线得

即，

同理

所以，当时，

故当时，为定值