Question

13．△ABC是边长为2的等边三角形，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 由向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值．再根据根据|$\overrightarrow{AC}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，求得|$\overrightarrow{b}$|，从而求得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角θ的值．

解答 解：△ABC是边长为2的等边三角形，∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2•2cos$\frac{π}{3}$=2，
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1．
根据|$\overrightarrow{AC}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，可得4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4-4+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，可得${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，∴|$\overrightarrow{b}$|=2．
设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1•2•cosθ=-1，可得cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=120°，
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．