题目内容
已知函数f（x）=
．
（1）若f（a）=2，求a的值；
（2）证明f（x）在x∈（0，+∞）单调递减；
（3）若x∈（1，4），求f（x）的值域．
| 2x+1 |
| 2x-1 |
（1）若f（a）=2，求a的值；
（2）证明f（x）在x∈（0，+∞）单调递减；
（3）若x∈（1，4），求f（x）的值域．
考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（1）代入求值；（2）利用单调性定义法证明；（3）利用函数的单调性求函数的值域．
解答：
解：（1）∵f(a)=
=2，
∴a=log23．
（2）证明：f(x)=
=
=1+
，
任取x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=(1+
)-(1+
)
=
-
=
∵0＜x1＜x2，∴1＜2x1＜2x2，
∴2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在x∈（0，+∞）单调递减．
（3）由（2）知f（x）在x∈（1，4）单调递减，
∴f（4）＜f（x）＜f（1），
∴
＜f(x)＜2，
∴f（x）的值域为(
，2)．
| 2a+1 |
| 2a-1 |
∴a=log23．
（2）证明：f(x)=
| 2x+1 |
| 2x-1 |
| (2x-1)+2 |
| 2x-1 |
| 2 |
| 2x-1 |
任取x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=(1+
| 2 |
| 2x1-1 |
| 2 |
| 2x2-1 |
=
| 2 |
| 2x1-1 |
| 2 |
| 2x2-1 |
| 2(2x2-2x1) |
| (2x1-1)(2x2-1) |
∵0＜x1＜x2，∴1＜2x1＜2x2，
∴2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在x∈（0，+∞）单调递减．
（3）由（2）知f（x）在x∈（1，4）单调递减，
∴f（4）＜f（x）＜f（1），
∴
| 17 |
| 15 |
∴f（x）的值域为(
| 17 |
| 15 |
点评：本题考查了函数单调性的证明与单调性的应用求值域．属于中档题．
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| ||||
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| ||||
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|