Question

已知抛物线y=-

1

2

x²，过点M（0，-1）的直线l与抛物线交于A，B两点，若直线OA，OB的斜率之和为1，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可得设直线l的方程为y=kx-1，联立直线与抛物线的方程可得：x²+2kx-2=0，根据韦达定理可得答案．

解答： 解：由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以联立直线与抛物线的方程可得：x²+2kx-2=0，
所以x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2，
因为OA和OB的斜率之和为1，即

y1

x1

+

y2

x2

=1，
所以

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=2k-

x1+x2

x1x2

=1，
所以k=1，
所以直线l的方程为y=x-1．

点评：本题主要考查抛物线的简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题．