Question

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（1）已知函数f（x）=x+

4

x

，其定义域为{x∈R|x≠0}，请指出它的单调区间；
（2）如果函数y=x+

3m

x

（x＞0）的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（3）若把函数f（x）=x²+

a

x2

（常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知的条件结合函数的奇偶性确定结论；
（2）找到最小值，然后列出关于a的方程即可；
（3）利用换元法求解．

解答： 解：（1）由已知得该函数在（0，2]递减，在[2，+∞）上递增；又因为函数是奇函数，所以f（x）在[-2，0）上递减，在（-∞，-2]上递增．
故函数f（x）在（0，2]，[-2，0）上递减；在[2，+∞），（-∞，-2]上递增．
（2）因为x＞0，且3^m＞0，故由已知得y=x+

3m

x

（x＞0）在(0，

3m

]递减，在[

3m

，+∞）上递增，故当x=

3m

时，ymin=2

3m

=6．
解得m=2．
（3）由已知，令t=x²∈[1，4]．则原函数化为y=t+

a

t

，t∈[1，4]．
则当0＜

a

≤1时，即0＜a≤1时，该函数在[1，4]上递增，故x=1时，y_min=a+1；
当1＜

a

≤4时，即1＜a≤16时，函数f（x）在[1，

a

）上递减，在[

a

，4]上递增，故t=a时，y_min=2

a

；
当

a

＞4时，即a＞16，函数f（x）在[1，4]上递减，故x=4时，ymin=4+

a

4

．
故g(a)=

a+1，0＜a≤1 2 a ，1＜a≤16 4+ a 4 ，a＞16

．

点评：本题考查了双勾函数的单调性及其应用，考查了分类讨论的思想，要注意体会．仔细总结．