Question

20．在数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．