Question

1．ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=$\frac{a}{3}$，过PMN的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$a
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$a
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$a
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$a

Answer 1

分析 由已知得MN∥PQ．DP=DQ=$\frac{2a}{3}$，由此利用勾股定理能求出PQ．

解答 解：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中点，
P是上底面的棱AD上的一点，AP=$\frac{a}{3}$，过PMN的平面交上底面于PQ，Q在CD上，
∴平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
∴MN∥PQ．
∵M，N分别是A₁B₁，B₁C₁的中点，AP=$\frac{a}{3}$，
∴CQ=$\frac{a}{3}$，∴DP=DQ=$\frac{2a}{3}$，
∴PQ=$\sqrt{D{P}^{2}+D{Q}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4{a}^{2}}{9}+\frac{4{a}^{2}}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$．
故选：D．

点评 本题考查线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．