Question

5．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
（1）求实数a，b的值；
（2）求证：$2≤\sqrt{at+12}+\sqrt{bt}≤4$．

Answer 1

分析 （1）取绝对值解出不等式，列方程得出a，b的值；
（2）根据柯西不等式和基本不等式证明．

解答 （1）解：由|x+a|＜b，得-b-a＜x＜b-a，
则$\left\{{\begin{array}{l}{-b-a=2}\\{b-a=4}\end{array}}\right.$，解得a=-3，b=1．
（2）由柯西不等式有${（{\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}}）^2}={（{\sqrt{3}•\sqrt{-t+4}+1•\sqrt{t}}）^2}≤[{{{（{\sqrt{3}}）}^2}+{1^2}}][{{{（{\sqrt{-t+4}}）}^2}+{{（{\sqrt{t}}）}^2}}]=16$，
所以$\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}≤4$，当且仅当$\frac{{\sqrt{4-t}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{t}}}{1}$，即t=1时等号成立．
又${（{\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}}）^2}=-3t+12+t+2\sqrt{-3t+12}\sqrt{t}≥12-2t≥4（{0≤t≤4}）$，所以$\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}≥2$，
当且仅当t=4时等号成立，
综上，$2≤\sqrt{at+12}+\sqrt{bt}≤4$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．