Question

20．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为$（{\sqrt{3}，0}）$，且Γ上一点到其两焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为$（{\sqrt{3}，0}）$，且Γ上一点到其两焦点的距离之和为4，求出a，b，即可求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定AB的中点坐标，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之间的关系，从而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为$（{\sqrt{3}，0}）$，且Γ上一点到其两焦点的距离之和为4，
∴$c=\sqrt{3}$，a=2．…（2分）
故b=1．…（4分）
故椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
由△＞0得$m∈（{-\sqrt{5}，\sqrt{5}}）$．…（8分）
${x_1}+{x_2}=-\frac{8m}{5}$，得${y_1}+{y_2}=\frac{2m}{5}$，
故AB的中点$M（{-\frac{4m}{5}，\frac{m}{5}}）$．…（11分）
因为PM⊥AB，所以$\frac{{\frac{m}{5}-1}}{{-\frac{4m}{5}}}=-1$，…（13分）
得$m=-\frac{5}{3}$满足条件．  …（15分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．