Question

10．如图，已知F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，若点Q为线段PF₂的中点，则b的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 通过画出草图，连结OQ可知OQ⊥PF₂且|OQ|=b，进而可知OQ是三角形PF₁F₂的中位线，利用勾股定理计算即得结论．

解答 解：连结OQ，如图，
∵线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，
∴OQ⊥PF₂，且|OQ|=b，
又∵点Q为线段PF₂的中点，
∴直线OQ是线段PF₂的中垂线，
又∵点O是F₁F₂的中点，
∴OQ是三角形PF₁F₂的中位线，
∴|PF₁|=2|OQ|=2b，
由椭圆定义可知|QF₂|=$\frac{2×\sqrt{9}-2b}{2}$=3-b，|OF₂|=$\sqrt{9-{b}^{2}}$，
根据勾股定理可知：9-b²=b²+（3-b）²，
解得：b=2，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．