Question

10．已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x）；
②对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），
③y=f（x+2）的图象关于y轴对称，
则下列结论中正确的是（　　）

• A． f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
• B． f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）
• C． f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
• D． f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）

Answer 1

分析 对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），得到函数是一个周期函数T=4，对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），得到函数在[0，2]上是一个递增函数，根据f（x+2）的图象关于y轴对称，得到f（x）的图象关于x=2对称．

解答 解：∵对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），
∴函数是一个周期函数T=4，
∵对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），
∴函数在[0，2]上是一个递增函数，
且f（0）=-f（2），f（1）=0，
∵f（x+2）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象关于x=2对称，
f（4.5）=f（0.5）＜0，
f（6.5）=f（2.5）＞0，
f（7）=f（3）=f（-1）=-f（1）=0，
∵函数在[0，2]上是一个递增函数，
∴f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
故选：D．

点评 本题考查函数的周期性和函数的单调性，是一个关于函数性质的综合题目，解题的关键是把几个函数的自变量通过变化，放到同一个单调区间上．