Question

9．上海迪士尼乐园有一块长方形地ABCD，若要在此地块上拟建一个Rt△MNP的主题乐园，已知AB=2km，AD=$\sqrt{3}$km，点M是AB的中点，点P在线段AD上，点N在线段BC上，记∠NMB=α．
（1）当α为何值时，Rt△MNP的面积S最大？并求出其最大值；
（2）当α为何值时，Rt△MNP的周长l最大？并求出其最大值．

Answer 1

分析 （1）设AP=y，BN=x，由互余的正切互为倒数，求得$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{π}{3}$，再由解直角三角形，可得三角形MNP的面积，再由二倍角公式和正弦函数的性质，即可得到最大值；
（2）运用勾股定理可得NP，求得周长l的表达式，令sinα+cosα=t，求得t的范围，再由同角的平方关系，可得l关于t的函数式，即可得到最大值．

解答 解：（1）设AP=y，BN=x，
由题意可得，tanα•tan∠PMA=$\frac{BN}{BM}$•$\frac{PA}{AM}$=xy=1，
由y=$\frac{1}{x}$可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\sqrt{3}$，
即$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{π}{3}$，
在直角三角形MNP中，MN=$\frac{BM}{cosα}$=$\frac{1}{cosα}$，
MP=$\frac{AM}{sinα}$=$\frac{1}{sinα}$，
则S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{sinα}$•$\frac{1}{cosα}$=$\frac{1}{sin2α}$，
由$\frac{π}{3}$≤2α≤$\frac{2π}{3}$，sin2α∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
即有当α=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$时，S取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）由（1）可得MN=$\frac{1}{cosα}$，MP=$\frac{1}{sinα}$，
NP=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{1}{sinαcosα}$，
即有l=$\frac{1}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$+$\frac{1}{sinαcosα}$（$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{π}{3}$），
=$\frac{sinα+cosα+1}{sinαcosα}$，
令sinα+cosα=t，即t=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{π}{3}$，可得α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]，
可得sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，1]，
即为t∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]，
又t²=1+2sinαcosα，可得sinαcosα=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
则l=$\frac{2（t+1）}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-1}$，
即有当t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$时，l取得最大值，且为2（$\sqrt{3}$+1）．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用三角函数的化简和正弦函数的图象和性质，以及换元后新元的范围，考查运算能力，属于中档题．