Question

15．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过F且斜率为1的直线l交抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的焦点坐标，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）求出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，再由点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．                                          
即有抛物线方程为y²=4x；                                    
（Ⅱ）直线方程为y=x-1，
联立抛物线得x²-6x+1=0，
故x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
即有|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4}$=8．                            
又原点到直线距离为d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．                             
故△OAB的面积为$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•8=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．