Question

5．已知两个向量$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），\overrightarrow b=（\sqrt{3}，-1）$，则$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据向量的线性运算得到2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的表达式，再由向量模的求法，利用正弦和余弦函数的公式进行化简，即可求出答案．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），\overrightarrow b=（\sqrt{3}，-1）$，
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（2cosθ-$\sqrt{3}$，2sinθ+1），
∴${（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=${（2cosθ-\sqrt{3}）}^{2}$+（2sinθ+1）²
=4-4$\sqrt{3}$cosθ+4sinθ+4
=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+8≥8+8=16，
当sin（θ-$\frac{π}{3}$）=1时，取“=”，
∴$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的最大值为4．
故选：C．

点评 本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用问题，是基础题目．