Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2，AB＝1．

（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，故，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积V．

（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，可证得CD⊥平面PAC，EF∥CD，由此能证明平面PAC⊥平面AEF．

解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，

∴

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∵四边形的面积为，

所以

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴PA⊥CD

又AC⊥CD，PA∩AC＝A

∴CD⊥平面PAC，

∵E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD

∴EF⊥平面PAC，

∵EF平面AEF，

∴平面PAC⊥平面AEF