题目内容
【题目】已知函数
(I)讨论的单调性;
(II)当,是否存在实数
,使得
,都有
?若存在求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)当,
在
为增函数;当
,
在
为增函数,在
为减函数; (II)
.
【解析】
(I)先求得函数的定义域,对其求导后对
分成
两类,讨论函数的单调区间.(II)将不等式
等价转化为
恒成立,构造函数
,利用其导数恒为非负数列不等式,分离常数后利用基本不等式求得
的取值范围.
(I) 的定义域为
,
当,则
,
在
为增函数,
,令
,解得
或
(舍去),
所以,当
,
,
在
为增函数;
当
,
,
在
为减函数,
综上所述,当,
在
为增函数;
当,
在
为增函数,在
为减函数。
(II)不妨设,则
,
假设存在实数,使得
,都有
,
则恒成立,
即恒成立,(*)
设,即(*)等价于
在
为单调递增
等价于在
恒成立,
等价于在
恒成立,
等价于在
恒成立,
∴,当且仅当
取等号,
∴,∴
的取值范围为
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