题目内容
【题目】如图，在直棱柱
中，
，
，
，
，
.
（1）求异面直线
与
所成的角的余弦值；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）以
为坐标原点建立空间直角坐标系，设出
长度，根据
，求得长度，
再求出
的方向向量，以及向量夹角的余弦值，即可容易求得；
（2）根据（1）中所求点的坐标，求得直线
的方向向量，以及平面
的法向量，即可用向量法求得线面夹角.
（1）易知
，
，
两两垂直，建立如下所示空间直角坐标系.
设
，则各点的坐标为：
，
，
，
，
，
，
.
从而
，
.
因为
，所以
.
解得：
或
（舍去）
∴
，而
异面直线
与
所成角的余弦值为.
（2）由（1）可知，
，
，
.
设
是平面
的一个法向量，
则：
即
令
，则
.
设直线
与平面所成角为
，
则：
直线与平面所成角的正弦值为.
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