题目内容
【题目】
已知函数
，其中
是常数.
(Ⅰ)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数
，使得关于
的方程
在
上有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）当a＝1时，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由点斜式可求得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ） 令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x＝0，对﹣（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k的取值范围．
解：(Ⅰ)由
可得
.
当
时,
,
.
所以 曲线
在点
处的切线方程为
，
即
（Ⅱ） 令
，
解得
或
当
，即
时，在区间
上，
，所以
是上的增函数.
所以 方程
在上不可能有两个不相等的实数根.
当
，即
时，
随
的变化情况如下表
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
| ↘ |
| ↗ |
由上表可知函数
在上的最小值为
.
因为 函数是
上的减函数，是
上的增函数，
且当
时，有
.
所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，
的取值范围必须是
.
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价格x（元/kg） | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日需求量y（kg） | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
（1）根据上表给出的数据，求出y与x的线性回归方程
；
（2）利用（1）中的回归方程，当价格
元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
（参考公式：线性回归方程，其中
，
．）
