题目内容
【题目】已知为双曲线的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,并在轴上方交双曲线于点,且.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上一点作两条渐近线的垂线,垂足分别是和,试求的值;
(3)过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点,中点为,证明:.
【答案】(1);(2);(3)见解析
【解析】分析:(1) 在直角三角形中,,解得,从而可得双曲线的方程;(2)确定两条渐近线方程,设双曲线上的点,求出点到两条渐近线的距离,利用在双曲线上,及向量的数量积公式,结合即可求得结论;(3)分类讨论: ①当切线的斜率存在,设切钱的方程代入双曲线中,利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式,结合直线与圆相切,可得成立;②当切线的斜率不存在时,求出的坐标,即可得到结论.
详解:(1)根据已知条件得,∴焦点坐标为,
∵轴,∴
在直角三角形中,,解得,
于是所求双曲线方程为.
(2)根据(1)易得两条双曲线渐近线方程分別为,,设点,则,
又在双曲线上,所以
于是.
(3)①当直线的斜率不存在时,则,于是,此时,即命题成立.
②当直线的斜率存在时,设的方程为切线与的交点坐标为,
于是有消去化成关于的二次为.
∵为的中点,∴
即坐标为
则,
又点到直线的距离为,.代入得:
,,故得证.
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