Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2（x∈R）．当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用二倍角的正弦和余弦公式化简，然后利用复合函数的单调性求得当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的单调递增区间．

解答： 解：f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2
=

3

sin2x-1+cos2x+2
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+1
=2sin(2x+

π

6

)+1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z．
取k=0，得-

π

3

≤x≤

π

6

．
∴当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的单调递增区间为[0，

π

6

]．

点评：本题考查了二倍角的正弦和余弦公式，考查了复合函数的单调性，是中档题．